Řešení příkladu 2025_J_4

— 2 minute read

Zadání

Pro $ a \in \mathbb{R} \setminus \lbrace -0.5;0.5 \rbrace $ zjednodušte výraz:

$$ (1 - 2a)^2: \left(\frac{1 + 4a^2}{1 + 2a} - 2a\right) $$

Řešení

Oproti předchozímu příkladu nyní upravujeme výraz, nikoliv rovnici. Rozdíly mezi těmito dvěma jsou uvedeny v příspěvku zde

  1. Pokud chceme dělit zlomkem, je to to samé, jako bychom násobili jeho převrácenou hodnotou. $$ \left(\frac{a}{b}\right):\left(\frac{c}{d}\right)=\left(\frac{a}{b}\right)*\left(\frac{d}{c}\right) $$
  2. Abychom ale mohli pravou závorku takto otočit, musí být jejím obsahem pouze zlomek. Zbavíme se tedy odečtu ve druhé závorce tak, že $2a$ převedeme na zlomek se jmenovatelem $1+2a$ a sloučíme jej se zlomkem:

$$ (1 - 2a)^2: \left(\frac{1 + 4a^2}{1 + 2a} - \frac{(1 + 2a)*2a}{1 + 2a}\right) $$

  1. Roznásobíme čitatel: $$ (1 - 2a)^2: \left(\frac{1 + 4a^2}{1 + 2a} - \frac{2a+4a^2}{1 + 2a}\right) $$

  2. A zlomky odečteme. Pozor, že odečítáme celý čitatel, a nesmíme tak zapomenout zachovat závorku $(2a+4a^2)$: $$ (1 - 2a)^2: \left(\frac{1 + 4a^2-(2a+4a^2)}{1 + 2a}\right) $$

  3. Upravíme (vidíme, že se nám hezky odečte $a^2$): $$ (1 - 2a)^2: \left(\frac{1 -2a}{1 + 2a}\right)$$

  4. Teď už obrátíme druhý zlomek a převedeme výraz na násobení: $$ (1 - 2a)^2*\left(\frac{1 + 2a}{1 -2a}\right)$$

  5. Převedeme na jeden zlomek: $$\frac{(1 - 2a)^2*(1 + 2a)}{1 -2a}$$

  6. A zkrátíme výraz $(1-2a)$. Pokud bychom závorku nalevo v některém kroku roznásobili, nyní bychom ji museli opět převést do tohoto tvaru: $$\frac{(1 - 2a)*(1 + 2a)}{1}$$

  7. Tedy: $$(1 - 2a)*(1 + 2a)$$

  8. To ještě můžeme upravit (buď roznásobením nebo znalostí vzorce) na: $$ \boxed{1-4a^2} $$

Kritická místa a tipy

V kontextu s předchozím příkladem je nutné si uvědomit, že je velký rozdíl při úpravě rovnice a výrazu. S rovnicí můžeme udělat například to, že od obou jejích stran odečteme číslo. Od výrazu za žádných okolností jen tak odečíst číslo nemůžeme.

Při zjednodušování výrazu často budeme chtít nějaké hodnoty vykrátit. Krácení zlomku nějakou hodnotou můžeme provést pouze tehdy, pokud čitatel i jmenovatel jsou touto hodnotou dělitelné. Můžeme tedy provést: $$ \frac{abc+bg}{bde}=\frac{ac+g}{de} $$ Ale nikdy nesmíme krátit, pokud dělit beze zbytku nelze: $$ \frac{abc+1}{bde}\ne\frac{ac+1}{de} $$ Zde studenti často dělají chybu a krátí, i když nemohou. Zkus si proto uvědomit, že krácení je prakticky dělení, a správně by tato úprava vypadala takto: $$ \frac{abc+1}{bde}=\frac{ac+\frac{1}{b}}{de} $$ Což nám většinou nepomůže, protože se nezbavíme písmene $b$.